Teoria Polinômios

Um dos métodos mais comuns para a divisão de polinômios é o método da chave, semelhante ao método da divisão de números inteiros (sem decimais).

Dividir um polinômio $f(x)$ por um polinômio $g(x)$ significa encontrar um polinômio $q(x)$ (quociente) e um polinômio $r(x)$ (resto) da seguinte maneira:

\begin{array}{c c}
& f(x) & | \hspace{-0.09cm} \underline{ \quad g(x) \quad} \\
& \hspace{-0.1cm} \underline{- \;\vdots \; \;} & \; q(x)\\
& r(x) & \\
\end{array}

Isso significa que:

$$f(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$$

Além disso, o grau de $r(x)$ deve ser menor que o grau de $q(x)$.

Iremos utilizar um exemplo para mostrar como o algoritmo funciona. Considere

• $f(x) = 2x^3-4x + 3x- 8$
• $g(x) = x^2 + 2x- 4$

Iremos dividir $\mathbf{f(x)}$ por $\mathbf{g(x)}$. Primeiro dispomos os polinômios na chave.

\begin{array}{c c}
2x^3-4x^2 + 3x- 8 & | \underline{x^2 + 2x- 4}
\end{array}

O objetivo é encontrar qual termo multiplicado por $\color{red}{x^2}$ irá resulta em $\color{red}{2x^3}$

\begin{array}{c c}
\color{red}{2x^3}-4x^2 + 3x- 8 & | \underline{\color{red}{x^2 }+ 2x- 4} \\
& ?
\end{array}

No caso, o termo que faz isso é $2x$. Ele é colocado no espaço do quociente.

\begin{array}{c l}
2x^3-4x^2 + 3x- 8 & | \underline{x^2 + 2x- 4} \\
& \quad 2x
\end{array}

Agora, distribuímos o $2x$ por todo o polinômio divisor, trocando o sinal de cada termo (para que sejam subtraídos). O resultado é somado ao polinômio dividendo:

\begin{array}{l l}
\; \; \; 2x^3-4x^2 + 3x- 8 & | \underline{x^2 + 2x- 4} \\
\underline{- 2x^3- 4x^2 + 8x}& \quad 2x \\
\hspace{2.6em} – 8x^2 +11x- 8
\end{array}

Agora, o objetivo é encontrar um termo que multiplica $x^2$ e resulta em $-8x^2$:

\begin{array}{l l}
\; \; \; 2x^3-4x^2 + 3x- 8 & | \underline{\color{blue}{x^2} + 2x- 4} \\
\underline{- 2x^3- 4x^2 + 8x}& \quad 2x + ?\\
\hspace{2.6em} \color{blue}{- 8x^2} +11x- 8
\end{array}

Neste caso, o termo é $-8$, não é necessário colocar $x$ pois o grau já é o mesmo. Ele é colocado ao lado do $2x$ que já estava no quociente:

\begin{array}{l l}
\; \; \; 2x^3-4x^2 + 3x- 8 & | \underline{\color{blue}{x^2} + 2x- 4} \\
\underline{- 2x^3- 4x^2 + 8x}& \quad 2x- 8\\
\hspace{2.6em} \color{blue}{- 8x^2} +11x- 8
\end{array}

Agora distribuímos $-8$ encontrado pelo divisor. Os resultados novamente são colocados abaixo do dividendo, com os sinais trocados (para indicar que serão subtraídos).

\begin{array}{l l}
\; \; \; 2x^3-4x^2 + 3x- 8 & | \underline{x^2 + 2x- 4} \\
\underline{- 2x^3- 4x^2 + 8x}& \quad 2x- 8\\
\hspace{2.6em} – 8x^2 +11x- 8 \\
\hspace{2.5em} \underline{ +8 x^2 + 16 x- 32} \\
\hspace{6em} 27x- 40
\end{array}

Agora repare que o resto da divisão $(27x- 40)$ possui grau $1$ e o divisor possui grau $2$. Quando o resto possui grau menor do que o divisor, a divisão está encerrada.

Assim, o quociente é $2x- 8$ e o resto é $27x- 40$. Podemos escrever que:

$$ \underbrace{2x^3-4x^2 + 3x- 8}_{f(x)} = \underbrace{(x^2 + 2x- 4)}_{g(x)} \underbrace{(2x- 8)}_{q(x)} + \underbrace{(27x- 40)}_{r(x)}$$

Iremos dividir $f(x) = 3x^2- 8x- 3$ por $g(x) = x- 3$.

\begin{array}{ c l}
\color{red}{3x^2}- 8x- 3 & \left | \hspace{-0.1em} \underline{\color{red}x- 3} \right. \\
\end{array}

O primeiro passo é encontrar que termo multiplicado por $x$ resulta em $3x^2$. Neste caso é o $3x$.

\begin{array}{ c l}
3x^2- 8x- 3 & \left | \hspace{-0.1em} \underline{x- 3} \right. \\
& \; 3x
\end{array}

Agora distribuímos $3x$ pelo divisor. Os resultados são colocados abaixo do dividendo com os sinais trocados e depois somados ao dividendo.

\begin{array}{ l l}
3x^2- 8x- 3 & \left | \hspace{-0.1em} \underline{x- 3} \right. \\
\hspace{-0.7em} \underline{-3x^2 +9x \quad \quad} & \; 3x \\
\hspace{3.1em} x- 3
\end{array}

Agora precisamos de um termo que multiplicado por $x$ resulta em $x$.

\begin{array}{ l l}
3x^2- 8x- 3 & \left | \hspace{-0.1em} \underline{\color{blue}x- 3} \right. \\
\hspace{-0.7em} \underline{-3x^2 +9x \quad \quad} & \; 3x + ?\\
\hspace{3.1em} \color{blue}{x}- 3
\end{array}

Este termo é $1$. O procedimento se repete com ele:

\begin{array}{ l l}
3x^2- 8x- 3 & \left | \hspace{-0.1em} \underline{x- 3} \right. \\
\hspace{-0.7em} \underline{-3x^2 +9x \quad \quad} & \; 3x + 1\\
\hspace{3.1em} x- 3 \\
\hspace{3.1em} \hspace{-0.7em}\underline{-x + 3} \\
\hspace{4.8em} 0
\end{array}

Assim, podemos escrever que:

$$3x^2- 8x- 3 = (x-3)(3x + 1)$$

Observe que neste caso, o resto é $0$. Assim, dizemos que $3x^2- 8x- 3$ é divisível por $(x-3)$.

Iremos dividir $x^4 – x^3 – 2x + 1$ por $x- 4$:

\begin{array}{l c}
x^4- x^3- 2x + 1 \quad & |\hspace{-0.1em} \underline{ \hspace{3em} x- 4 \hspace{3em} }\\
\hspace{-0.8em} \underline{- x^4 +4x^3} & x^3 + 3x^2 + 12x + 46\\
\hspace{1.8em}3x^3- 2x + 1 \\
\hspace{1.1em}\underline{-3x^3 + 12x^2} \\
\hspace{3.8em}12x^2- 2x + 1 \\
\hspace{3em}\underline{-12x^2 + 48 x} \\
\hspace{6.6em}46x + 1 \\
\hspace{5.8em}\underline{-46x + 184} \\
\hspace{9.2em} 185
\end{array}